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阻抗的介紹蘇州賽秘爾電子科技有限公司

更新時(shí)間：2018-01-02 點(diǎn)擊次數(shù)：2161

阻抗（electrical impedance）是電路中電阻、電感、電容對(duì)交流電的阻礙作用的統(tǒng)稱。阻抗衡量流動(dòng)于電路的交流電所遇到的阻礙。阻抗將電阻的概念加以延伸至交流電路領(lǐng)域，不僅描述電壓與電流的相對(duì)振幅，也描述其相對(duì)相位。當(dāng)通過(guò)電路的電流是直流電時(shí)，電阻與阻抗相等，電阻可以視為相位為零的阻抗。

阻抗通常以符號(hào) {\displaystyle Z} $Z$ 標(biāo)記。阻抗是復(fù)數(shù)，可以用相量 {\displaystyle Z_\angle \theta } $Z_\angle \theta$ 或 {\displaystyle Z_e^{j\theta }} $Z_e^{{j\theta }}$ 來(lái)表示；其中，{\displaystyle Z_} $Z_$ 是阻抗的大小，{\displaystyle \theta } $\theta$ 是阻抗的相位。這種表式法稱為“相量表示法”。

具體而言，阻抗定義為電壓與電流的頻域比率^[1]。阻抗的大小 {\displaystyle Z_} $Z_$ 是電壓振幅與電流振幅的值比率，阻抗的相位 {\displaystyle \theta } $\theta$ 是電壓與電流的相位差。采用單位制，阻抗的單位是歐姆（Ω），與電阻的單位相同。阻抗的倒數(shù)是導(dǎo)納，即電流與電壓的頻域比率。導(dǎo)納的單位是西門子 (單位)（舊單位是姆歐）。

英文術(shù)語(yǔ)“impedance”是由物理學(xué)者奧利弗·亥維賽于1886年發(fā)表論文《電工》給出^[2]^[3]。于1893年，電機(jī)工程師亞瑟·肯乃利（Arthur Kennelly）zui先以復(fù)數(shù)表示阻抗^[4]。

復(fù)阻抗

阻抗是復(fù)數(shù)，可以與術(shù)語(yǔ)“復(fù)阻抗”替換使用。阻抗通常以相量來(lái)表示，這種表示法稱為“相量表示法”。相量有三種等價(jià)形式：

直角形式：{\displaystyle R+jX} $R+jX$ 、
極形式：{\displaystyle Z_\angle \theta } $Z_\angle \theta$ 、
指數(shù)形式：{\displaystyle Z_e^{j\theta }} $Z_e^{{j\theta }}$ ；

其中，電阻 {\displaystyle R} $R$ 是阻抗的實(shí)部，電抗 {\displaystyle X} $X$ 是阻抗的虛部，{\displaystyle Z_} $Z_$ 是阻抗的大小，{\displaystyle j} $j$ 是虛數(shù)單位，{\displaystyle \theta } $\theta$ 是阻抗的相位。

從直角形式轉(zhuǎn)換到指數(shù)形式可以使用方程

{\displaystyle R=Z_\cos \theta } $R=Z_\cos \theta$ 、

{\displaystyle X=Z_\sin \theta } $X=Z_\sin \theta$ 。

從指數(shù)形式轉(zhuǎn)換到直角形式可以使用方程

{\displaystyle Z_={\sqrt +X^}}} $Z_={\sqrt +X^}}$ 、

{\displaystyle \theta =\arctan(X/R)} $\theta =\arctan(X/R)$ 。

極形式適用于實(shí)際工程標(biāo)示，而直角形式比較適用于幾個(gè)阻抗相加或相減的案例，指數(shù)形式則比較適用于幾個(gè)阻抗相乘或相除的案例。在作電路分析時(shí)，例如在計(jì)算兩個(gè)阻抗并聯(lián)的總阻抗時(shí)，可能會(huì)需要作幾次形式轉(zhuǎn)換。這種形式轉(zhuǎn)換必需要依照復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換定則。

歐姆定律

連接于電路的交流電源會(huì)給出電壓 {\displaystyle v(t)} $v(t)$ 于負(fù)載 {\displaystyle Z} $Z$ 的兩端，并且驅(qū)動(dòng)電流 {\displaystyle i(t)} $i(t)$ 于電路。

主條目：歐姆定律

借著歐姆定律，可以了解阻抗的內(nèi)涵^[5]：

{\displaystyle v=iZ=iZ_e^{j\theta }} $v=iZ=iZ_e^{{j\theta }}$ 。

阻抗大小 {\displaystyle Z_} $Z_$ 的作用恰巧就像電阻，設(shè)定電流 {\displaystyle i} $i$ ，就可計(jì)算出阻抗 {\displaystyle Z} $Z$ 兩端的電壓降 {\displaystyle v} $v$ 。相位因子 {\displaystyle e^{j\theta }} $e^{{j\theta }}$ 則是電流滯后于電壓的相位差 {\displaystyle \theta } $\theta$ （在時(shí)域，電流信號(hào)會(huì)比電壓信號(hào)慢 {\displaystyle \theta T/2\pi } $\theta T/2\pi$ 秒；其中， {\displaystyle T} $T$ 是單位為秒的周期）。

就像電阻將歐姆定律延伸至交流電路領(lǐng)域，其它直流電路分析的結(jié)果，例如電壓分配（voltage division）、電流分配（current division）、戴維寧定理、諾頓定理等等，都可以延伸至交流電路領(lǐng)域，只需要將電阻更換為阻抗就行了。

復(fù)值電壓與電流

電路內(nèi)的廣義阻抗可以描繪為與電阻符號(hào)相同的形狀，或者描繪為加有標(biāo)簽的盒子。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，正弦電壓波 {\displaystyle v(t)} $v(t)$ 和正弦電流波 {\displaystyle i(t)} $i(t)$ 通常以指數(shù)形式表示為^[5]

{\displaystyle v(t)=V_e^{j(\omega t+\phi _)}} $v(t)=V_e^{{j(\omega t+\phi _)}}$ 、

{\displaystyle i(t)=I_e^{j(\omega t+\phi _)}} $i(t)=I_e^{{j(\omega t+\phi _)}}$ ；

其中，{\displaystyle V_>0} $V_>0$ 是電壓振幅，{\displaystyle I_>0} $I_>0$ 是電流振幅，{\displaystyle \omega } $\omega$ 是正弦波的角頻率、{\displaystyle \phi _} $\phi _$ 是電壓相位，{\displaystyle \phi _} $\phi _$ 是電流相位，

阻抗定義為電壓除以電流：

{\displaystyle Z\ {\stackrel }\ {\frac }} $Z\ {\stackrel }\ {\frac }$ 。

將這公式代入歐姆定律，可以得到

{\displaystyle V_e^{j(\omega t+\phi _)}&=I_e^{j(\omega t+\phi _)}Z_e^{j\theta }\\&=I_Z_e^{j(\omega t+\phi _+\theta )}end}} $V_e^{{j(\omega t+\phi _)}}&=I_e^{{j(\omega t+\phi _)}}Z_e^{{j\theta }}\\&=I_Z_e^{{j(\omega t+\phi _+\theta )}}end}$ 。

注意到對(duì)于任意時(shí)間 {\displaystyle t} $t$ ，這方程都成立。因此，可以令大小與相位分別相等：

{\displaystyle V_=I_Z_} $V_=I_Z_$ 、

{\displaystyle \ \phi _=\phi _+\theta } $\ \phi _=\phi _+\theta$ 。

*個(gè)方程乃是熟悉的表達(dá)電壓與電流之間關(guān)系的歐姆定律，第二個(gè)方程給出相位關(guān)系。

用相量表示法來(lái)描述，相量 {\displaystyle V} $V$ 、{\displaystyle I} $I$ 分別為

{\displaystyle V=V_e^{j\phi _}} $V=V_e^{{j\phi _}}$ 、

{\displaystyle I=I_e^{j\phi _}} $I=I_e^{{j\phi _}}$ 。

正弦波 {\displaystyle v(t)} $v(t)$ 、{\displaystyle i(t)} $i(t)$ 跟相量 {\displaystyle V} $V$ 、{\displaystyle I} $I$ 的關(guān)系為

{\displaystyle v(t)=Ve^{j\omega t}} $v(t)=Ve^{{j\omega t}}$ 、

{\displaystyle i(t)=Ie^{j\omega t}} $i(t)=Ie^{{j\omega t}}$ 。

阻抗的定義為

{\displaystyle Z\ {\stackrel }\ {\frac }} $Z\ {\stackrel }\ {\frac }$ 。

復(fù)數(shù)運(yùn)算的正確性

根據(jù)歐拉公式，余弦函數(shù)可以表示為

{\displaystyle \cos(\omega t+\phi )={\frac }{\Big [}e^{j(\omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )}{\Big ]}} $\cos(\omega t+\phi )={\frac }{\Big [}e^{{j(\omega t+\phi )}}+e^{{-j(\omega t+\phi )}}{\Big ]}$ 。

這是一個(gè)可以用來(lái)表示電壓或電流波形的實(shí)值余弦函數(shù)，可以被分解為兩個(gè)復(fù)值函數(shù)。所以，只要分析方程右邊的兩個(gè)復(fù)值項(xiàng)目的行為，就可以明了方程左邊的實(shí)值余弦函數(shù)的行為。由于這兩個(gè)復(fù)值項(xiàng)目的實(shí)部相等，實(shí)際而言，只需要分析其中一個(gè)項(xiàng)目，取這項(xiàng)目的實(shí)部，就可以得到余弦函數(shù)：

{\displaystyle \cos(\omega t+\phi )=\mathrm {\Big \{}e^{j(\omega t+\phi )}{\Big \}}} $\cos(\omega t+\phi )={\mathrm }{\Big \{}e^{{j(\omega t+\phi )}}{\Big \}}$ 。

換句話說(shuō)，只要取計(jì)算結(jié)果的實(shí)部，就可以得到答案。

在傅里葉分析中，激勵(lì)可以寫成多個(gè)正弦波的疊加。根據(jù)疊加原理，每個(gè)正弦波可以單獨(dú)分析計(jì)算出各自的反應(yīng)，（反應(yīng)本身也是一個(gè)正弦波，其頻率與激勵(lì)的頻率相同，但通常兩者的振幅、相位都不相同，反應(yīng)的振幅、相位會(huì)有所改變。）對(duì)于原本激勵(lì)的響應(yīng)是所有單獨(dú)正弦波的響應(yīng)在時(shí)域的總和（或積分）。這些單獨(dú)正弦波都可以轉(zhuǎn)換為以復(fù)數(shù)運(yùn)算。^[6]

相量

主條目：相量

相量是一個(gè)常定復(fù)數(shù)，可以代表參數(shù)為時(shí)間的正弦函數(shù)的復(fù)振幅（大小和相位）。電機(jī)工程師常會(huì)使用相量作復(fù)數(shù)運(yùn)算，因?yàn)槟軌蚝?jiǎn)化涉及正弦函數(shù)的運(yùn)算，將一個(gè)微分方程問(wèn)題約化為代數(shù)方程問(wèn)題。

一個(gè)電路元件的阻抗可以定義為元件兩端的電壓相量與通過(guò)元件的電流相量，兩者之間的比率，即電壓與電流之間的相對(duì)振幅與相對(duì)相位。注意到因子 {\displaystyle e^{j\omega t}} $e^{{j\omega t}}$ 互相抵消，這定義等價(jià)于前面由歐姆定律給出的定義，

電路元件的阻抗

電容器兩端的電壓滯后于通過(guò)電容器的電流，兩者之間的相位差為 {\displaystyle \pi /2} $\pi/2$ ；電感器兩端的電壓超前于通過(guò)電感器的電流，兩者之間的相位差為 {\displaystyle \pi /2} $\pi/2$ 。由于電壓與電流的振幅相等，阻抗的的大小為1。

理想電阻器的阻抗 {\displaystyle Z_} $Z_$ 是實(shí)數(shù)，稱為“電阻”：

{\displaystyle Z_=R} $Z_=R$ ；

其中，{\displaystyle R} $R$ 是理想電阻器的電阻。

理想電容器和理想電感器的阻抗 {\displaystyle Z_} $Z_$ 、{\displaystyle Z_} $Z_$ 都是虛數(shù) ：

{\displaystyle Z_={\frac {j\omega C}}} $Z_={\frac {j\omega C}}$ ，

{\displaystyle Z_=j\omega L} $Z_=j\omega L$ ；

其中，{\displaystyle C} $C$ 是理想電容器的電容，{\displaystyle L} $L$ 是理想電感器的電感。

注意到以下兩個(gè)很有用的全等式：

{\displaystyle j=e^{j\pi /2}} $j=e^{{j\pi /2}}$ 、

{\displaystyle -j=e^{-j\pi /2}} $-j=e^{{-j\pi /2}}$ 。

應(yīng)用這些全等式，理想電容器和理想電感器的阻抗以指數(shù)形式重寫為

{\displaystyle Z_={\frac {e^{-j\pi /2}}{\omega C}}} $Z_={\frac {e^{{-j\pi /2}}}{\omega C}}$ 、

{\displaystyle Z_=\omega Le^{j\pi /2}} $Z_=\omega Le^{{j\pi /2}}$ 。

給定通過(guò)某阻抗元件的電流振幅，復(fù)阻抗的大小給出這阻抗元件兩端的電壓振幅，而復(fù)阻抗的指數(shù)因子則給出相位關(guān)系。

電阻器、電容器和電感器是三種基本電路元件。以下段落會(huì)推導(dǎo)出這些元件的阻抗。這些導(dǎo)引假定正弦信號(hào)。通過(guò)傅里葉分析，任意信號(hào)可以視為一組正弦函數(shù)的總和。所以，這些導(dǎo)引可以延伸至任意信號(hào)。

電阻器

根據(jù)歐姆定律，通過(guò)電阻器的含時(shí)電流 {\displaystyle i_(t)} $i_}(t)$ 與電阻器兩端的含時(shí)電壓 {\displaystyle v_(t)} $v_}(t)$ ，兩者之間的關(guān)系為

{\displaystyle v_(t)=i_(t)R} $v_}(t)=i_}(t)R$ ；

其中，{\displaystyle t} $t$ 是時(shí)間。

設(shè)定含時(shí)電壓信號(hào)為

{\displaystyle v_(t)=V_\cos(\omega t)=V_e^{j\omega t},\uad V_>0} $v_}(t)=V_\cos(\omega t)=V_e^{{j\omega t}},\uad V_>0$ ，　

則含時(shí)電流為

{\displaystyle i_(t)={\frac }}e^{j\omega t}} $i_}(t)={\frac }}e^{{j\omega t}}$ 。

兩者的大小分別為 {\displaystyle V_} $V_$ 、{\displaystyle V_/R} $V_/R$ ，相位都是 {\displaystyle \omega t} $\omega t$ 。所以，阻抗為

{\displaystyle Z_=R} $Z_}=R$ 。

電阻器的阻抗是實(shí)數(shù)。理想電阻器不會(huì)制造相位差。

電容器

通過(guò)電容器的含時(shí)電流 {\displaystyle i_(t)} $i_(t)$ 與電容器兩端的含時(shí)電壓 {\displaystyle v_(t)} $v_(t)$ ，兩者之間的關(guān)系為

{\displaystyle i_(t)=C{\frac {\operatorname v_(t)}{\operatorname t}}} $i_(t)=C{\frac {\operatorname v_(t)}{\operatorname t}}$ 。

設(shè)定含時(shí)電壓信號(hào)為

{\displaystyle v_(t)=V_\sin(\omega t)=\operatorname \e^{j(\omega t-\pi /2)}\}=\operatorname \e^{j\omega t}\},\uad V_>0} $v_(t)=V_\sin(\omega t)=\operatorname \e^{j(\omega t-\pi /2)}\}=\operatorname \e^{j\omega t}\},\uad V_>0$ ，

則電流為

{\displaystyle i_(t)=\omega V_C\cos(\omega t)=\operatorname \{\omega V_Ce^{j\omega t}\}=\operatorname \e^{j\omega t}\}} $i_(t)=\omega V_C\cos(\omega t)=\operatorname \{\omega V_Ce^{j\omega t}\}=\operatorname \e^{j\omega t}\}$ 。

兩者的除商為

{\displaystyle {\frac (t)}(t)}}={\frac \sin(\omega t)}{\omega V_C\cos(\omega t)}}={\frac {\sin(\omega t)}{\omega C\sin \left(\omega t+{\frac {\pi }}\right)}}} ${\frac (t)}(t)}}={\frac \sin(\omega t)}{\omega V_C\cos(\omega t)}}={\frac {\sin(\omega t)}{\omega C\sin \left(\omega t+{\frac {\pi }}\right)}}$ ?！?/p>

所以，電容器阻抗的大小為 {\displaystyle 1/\omega C} $1/\omega C$ ，交流電壓滯后90°于交流電流，或者，交流電流超前90°于交流電壓。

以相量形式表示，

{\displaystyle V_=V_e^{j(-\pi /2)},\uad V_>0} $V_=V_e^{j(-\pi /2)},\uad V_>0$ 、

{\displaystyle I_=\omega V_Ce^} $I_=\omega V_Ce^$ 、

{\displaystyle Z_={\frac {e^{-j\pi /2}}{\omega C}}} $Z_={\frac {e^{{-j\pi /2}}}{\omega C}}$ ，

或者，應(yīng)用歐拉公式，

{\displaystyle Z_={\frac {j\omega C}}} $Z_={\frac {j\omega C}}$ 。

電感器

通過(guò)電感器的含時(shí)電流 {\displaystyle i_(t)} $i_(t)$ 與電感器兩端的含時(shí)電壓 {\displaystyle v_(t)} $v_(t)$ ，兩者之間的關(guān)系為

{\displaystyle v_(t)=L{\frac {\operatorname i_(t)}{\operatorname t}}} $v_(t)=L{\frac {\operatorname i_(t)}{\operatorname t}}$ 。

設(shè)定含時(shí)電流信號(hào)為

{\displaystyle i_(t)=I_\cos(\omega t)} $i_}(t)=I_\cos(\omega t)$ 。

則電壓為

{\displaystyle v_(t)=-\omega LI_\sin(\omega t)=\omega LI_\cos(\omega t+\pi /2)} $v_(t)=-\omega LI_\sin(\omega t)=\omega LI_\cos(\omega t+\pi /2)$ 。

兩者的除商為

{\displaystyle {\frac (t)}(t)}}={\frac {\omega L\cos(\omega t+\pi /2)}{\cos(\omega t)}}} ${\frac }(t)}}(t)}}={\frac {\omega L\cos(\omega t+\pi /2)}{\cos(\omega t)}}$ 。

所以，電感器阻抗的大小為 {\displaystyle \omega L} $\omega L$ ，交流電壓超前90°于交流電流，或者，交流電流滯后90°于交流電壓。

以相量形式表示，

{\displaystyle i_(t)=I_e^{j\omega t},\uad I_>0} $i_(t)=I_e^{{j\omega t}},\uad I_>0$ 、

{\displaystyle v_(t)=\omega LI_e^{j(\omega t+\pi /2)}} $v_(t)=\omega LI_e^{{j(\omega t+\pi /2)}}$ 、

{\displaystyle Z_=\omega Le^{j\pi /2}} $Z_=\omega Le^{{j\pi /2}}$ ，

或者，應(yīng)用歐拉公式，

{\displaystyle Z_=j\omega L} $Z_=j\omega L$ 。

廣義 s-平面阻抗

以 {\displaystyle j\omega } $j\omega$ 定義阻抗的方法只能應(yīng)用于以穩(wěn)定態(tài)交流信號(hào)為輸入的電路。假若將阻抗概念加以延伸，將 {\displaystyle j\omega } $j\omega$ 改換為復(fù)角頻率 {\displaystyle s} $s$ ，就可以應(yīng)用于以任意交流信號(hào)為輸入的電路。表示于時(shí)域的信號(hào)，經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換后，會(huì)改為表示于頻域的信號(hào)，改成以復(fù)角頻率表示。采用這更廣義的標(biāo)記，基本電路元件的阻抗為

元件	阻抗表達(dá)式
電阻器	{\displaystyle R} $R$
電容器	{\displaystyle 1/sC} $1/sC$
電感器	{\displaystyle sL} $sL$

對(duì)于直流電路，這簡(jiǎn)化為 {\displaystyle s=0} $s=0$ ；對(duì)于穩(wěn)定正弦交流信號(hào)，{\displaystyle s=j\omega } $s=j\omega$ 。

電抗

主條目：電抗

電抗是阻抗的虛部。電阻 {\displaystyle R} $R$ 與電抗 {\displaystyle X} $X$ 共同設(shè)定阻抗的大小和相位：

{\displaystyle Z_={\sqrt }}={\sqrt +X^}}} $Z_={\sqrt }}={\sqrt +X^}}$ 、

{\displaystyle \theta =\arctan {\left({\frac }\right)}} $\theta =\arctan {\left({\frac }\right)}$ 。

具有有限電抗的電路元件，會(huì)使得其兩端的電壓與通過(guò)的電流發(fā)生相位差 {\displaystyle \theta } $\theta$ ：

{\displaystyle X=Z_\sin \theta } $X=Z_\sin \theta$ 。

運(yùn)作時(shí)，純電抗元件會(huì)交替地從電路吸收電能，然后又將電能還給電路；純電抗元件不會(huì)耗散任何電能。

容抗

電介質(zhì)分子因?yàn)殡娮邮艿诫妶?chǎng)影響，使得分子偏離平衡位置。為了方便說(shuō)明，本圖將電介質(zhì)和電極的空隙加大，實(shí)際上電介質(zhì)會(huì)直接和電極接觸。

主條目：電容

理想電容器的阻抗是虛數(shù)，不具有實(shí)部，其虛部稱為“容抗”，與信號(hào)的角頻率成反比。電容器是由兩塊導(dǎo)體和夾在中間的電介質(zhì)構(gòu)成，其容抗為

{\displaystyle X_=-1/\omega C} $X_=-1/\omega C$ 。

從這方程可以觀察到，當(dāng)交流電源的角頻率 {\displaystyle \omega } $\omega$ 趨向于零時(shí)，電源會(huì)趨向于直流電源，容抗會(huì)趨向于負(fù)無(wú)窮大，假設(shè)給定電壓源振幅，則電流會(huì)趨向于零。所以，在低頻率運(yùn)作時(shí)，電容器貌似斷路。假設(shè)電源的頻率越高，則容抗越低，對(duì)于電流通過(guò)的阻礙也越低。在高頻率運(yùn)作時(shí)，電容器貌似短路。

更詳細(xì)地描述，假設(shè)連接直流電流源于平行板電容器的兩端，由于電容器中有絕緣的電介質(zhì)阻隔，電荷無(wú)法穿過(guò)電容器，電容器的一塊平行板會(huì)累積正電荷,另一塊平行板會(huì)累積負(fù)電荷。這過(guò)程稱為“充電”。注意到在這充電過(guò)程，整個(gè)電容器仍舊維持電中性。分別累積于兩塊平行板的正電荷和負(fù)電荷會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)。依照不同的電介質(zhì)屬性而定，這電場(chǎng)會(huì)將電介質(zhì)的正負(fù)電荷稍微分開(kāi)，或者按照電場(chǎng)方向改變每一個(gè)電介質(zhì)分子的定向，將電介質(zhì)電極化，這會(huì)在電介質(zhì)的表面形成面束縛電荷與其對(duì)應(yīng)的感應(yīng)電場(chǎng)，其方向與原本電場(chǎng)相反，因此減弱原本電場(chǎng)的實(shí)際作用，所以電介質(zhì)可以增加電容器的電容。由于電容器的總電場(chǎng)，電容器的兩塊平行板之間會(huì)出現(xiàn)電壓。等到這電壓不再變動(dòng)之后，通過(guò)電容器的電流會(huì)等于零，所以，一般會(huì)說(shuō)電容器不允許直流電流通過(guò)。

假設(shè)連接交流電流源或交流電壓源于平行板電容器的兩端，由于電流會(huì)周期性的變換方向，交流電流會(huì)輪流對(duì)電容器的兩塊平行板充電和放電，處于兩塊平行板的電荷會(huì)周期性的變化，因此在一個(gè)周期內(nèi)，除了電流由正變負(fù)（或由負(fù)變正）的那一瞬間之外，通過(guò)電容器的電流均不為零。因此，一般認(rèn)為電容器可允許交流電流通過(guò)。注意到電容器只能夠累積有*的電荷。

感抗

主條目：電感

理想電感器的阻抗是虛數(shù)，不具有實(shí)部，其虛部稱為“感抗”，與信號(hào)的角頻率成正比：

{\displaystyle X_=\omega L} $X_=\omega L$ ；

其中，{\displaystyle X_} $X_$ 是感抗。

從這方程可以觀察到，當(dāng)交流電源的角頻率趨向于零時(shí)，電源會(huì)趨向于直流電源，感抗會(huì)趨向于零，對(duì)于電流的通過(guò)阻礙越低。所以，在低頻率運(yùn)作時(shí)，電感器貌似短路。假設(shè)電源角頻率越高，則感抗越高，假設(shè)給定電壓源振幅，則電流會(huì)趨向于零。所以，在高頻率運(yùn)作時(shí)，電感器貌似斷路。

電感器是一個(gè)線圈導(dǎo)體。根據(jù)法拉第感應(yīng)定律，通過(guò)載流循環(huán)的磁通量變率，會(huì)生成的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

{\displaystyle {\mathcal }=-{{\operatorname \Phi _} \over \operatorname t}} ${\mathcal }=-{{\operatorname \Phi _} \over \operatorname t}$ ；

其中，{\displaystyle {\mathcal }} ${\mathcal }$ 是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，{\displaystyle \Phi _} $\Phi_B$ 是磁通量。

假設(shè)電感器的線圈匝數(shù)是 {\displaystyle N} $N$ ，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

{\displaystyle {\mathcal }=-N{\operatorname \Phi _ \over \operatorname t}} ${\mathcal }=-N{\operatorname \Phi _ \over \operatorname t}$ 。

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)會(huì)阻礙電流流動(dòng)。常定直流電所產(chǎn)生的磁場(chǎng)，其通過(guò)線圈的磁通量是個(gè)常數(shù)，變率為零，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也為零。所以，常定直流電會(huì)將電感器視為短路（通常電感器的材質(zhì)為低電阻率材料）。交流電變率的時(shí)間平均值跟頻率成正比，因此感抗與頻率也成正比。

阻抗組合

主條目：串聯(lián)電路和并聯(lián)電路

應(yīng)用串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的阻抗計(jì)算定則，就可以計(jì)算出簡(jiǎn)單電路的總阻抗。除了阻抗是復(fù)數(shù)以外，這定則與串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的電阻計(jì)算定則等同。但是，對(duì)于一般電路案例，還需要通過(guò)等效阻抗轉(zhuǎn)換（equivalent impedance transform）這一道步驟。

星形電路和三角形電路示意圖。

具有多于兩個(gè)終端點(diǎn)的阻抗電路，無(wú)法約化為只具有一個(gè)阻抗元件的等效電路；具有 {\displaystyle n} $n$ 個(gè)終端點(diǎn)的阻抗電路，{\displaystyle n>2} $n>2$ ，zui少只能約化為具有 {\displaystyle n} $n$ 個(gè)阻抗元件的等效電路。三終端點(diǎn)電路可以約化為具有三個(gè)節(jié)點(diǎn)的三角形電路或具有四個(gè)節(jié)點(diǎn)的星形電路。這兩種等價(jià)電路可以互相變換。具有任意個(gè)終端點(diǎn)的一般電路，只靠串聯(lián)和并聯(lián)組和，無(wú)法約化為具有zui少個(gè)阻抗元件的電路（稱為“zui少電路”）；通常，還必需使用角星變換和星角變換。理論上，可以證明這些變換足夠找到zui少電路；不須要任何其他種復(fù)雜變換。

串聯(lián)電路

以串聯(lián)方式相連接的元件。

假設(shè)一個(gè)電路的元件是以串聯(lián)方式相連接，則通過(guò)每一個(gè)元件的電流都相等，等效阻抗是每一個(gè)元件的阻抗的總和：

{\displaystyle Z_\ {\stackrel }\ Z_+Z_+\cdots +Z_} $Z_}\ {\stackrel }\ Z_+Z_+\cdots +Z_$ ；

其中，{\displaystyle Z_} $Z_}$ 是等效阻抗，{\displaystyle Z_} $Z_$ 是第 {\displaystyle i} $i$ 個(gè)元件的阻抗。

以實(shí)部項(xiàng)目和虛部項(xiàng)目表示，

{\displaystyle Z_=R_+jX_=(R_+R_+\cdots +R_)+j(X_+X_+\cdots +X_)} $Z_}=R_}+jX_}=(R_+R_+\cdots +R_)+j(X_+X_+\cdots +X_)$ 。

并聯(lián)電路

以并聯(lián)方式相連接的元件。

假設(shè)一個(gè)電路的元件是以并聯(lián)方式相連接，則每一個(gè)元件兩端的電壓都相等，每一個(gè)元件的阻抗的倒數(shù)，總和起來(lái)就是等效阻抗的倒數(shù)：

{\displaystyle {\frac }}\ {\stackrel }\ {\frac }}+{\frac }}+\cdots +{\frac }}} ${\frac }}}\ {\stackrel }\ {\frac }}+{\frac }}+\cdots +{\frac }}$ 。

對(duì)于 {\displaystyle n=2} $n=2$ 案例，

{\displaystyle Z_={\frac Z_}+Z_}}} $Z_}={\frac Z_}+Z_}}$ 。

以實(shí)部項(xiàng)目 {\displaystyle R_} $R_}$ 和虛部項(xiàng)目 {\displaystyle X_} $X_}$ 表示，

{\displaystyle Z_=R_+jX_} $Z_}=R_}+jX_}$ ；

其中，

{\displaystyle R_={\frac R_+X_R_)(X_+X_)+(R_R_-X_X_)(R_+R_)}+R_)^+(X_+X_)^}}} $R_}={\frac R_+X_R_)(X_+X_)+(R_R_-X_X_)(R_+R_)}+R_)^+(X_+X_)^}}$ 、

{\displaystyle X_={\frac R_+X_R_)(R_+R_)-(R_R_-X_X_)(X_+X_)}+R_)^+(X_+X_)^}}} $X_}={\frac R_+X_R_)(R_+R_)-(R_R_-X_X_)(X_+X_)}+R_)^+(X_+X_)^}}$ 。

測(cè)量

當(dāng)測(cè)量電路元件的阻抗時(shí)，必需先了解測(cè)量值與真實(shí)值之間可能會(huì)出現(xiàn)的差別。這是因?yàn)闇y(cè)量?jī)x器本身的殘余阻抗和測(cè)量的準(zhǔn)確度問(wèn)題。給定已知阻抗真實(shí)值的元件，然后比較其測(cè)量值與真實(shí)值，就可以知道這測(cè)量方法的優(yōu)劣。

測(cè)量阻抗的方法有很多種，例如，電橋法、諧振法、電壓-電流法、阻抗頻譜法等等^[7]^[8]。每一種方法都有其優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。測(cè)量者可以選擇的方法。

電橋法

交流電橋電路圖

交流電橋貌似惠斯登橋，可以用來(lái)測(cè)量阻抗。將交流電源連接于交流電橋兩端，電橋的四個(gè)元件的阻抗分別為 {\displaystyle Z_} $Z_$ ，{\displaystyle Z_} $Z_$ ，{\displaystyle Z_} $Z_$ ，{\displaystyle Z_} $Z_$ 。在BD兩點(diǎn)之間的偵測(cè)器可以是耳機(jī)或交流檢流器。當(dāng)電橋達(dá)成平衡狀態(tài)時(shí)，BD兩點(diǎn)之間的電壓為零，交流檢流器測(cè)量出的電流也會(huì)為零，未知元件與另外三個(gè)元件之間關(guān)于阻抗的關(guān)系為

{\displaystyle Z_=Z_Z_/Z_} $Z_=Z_Z_/Z_$ ，

以相量表示，

{\displaystyle Z_=|Z_|\angle \theta _=|Z_Z_/Z_|\angle (\theta _+\theta _-\theta _)} $Z_=|Z_|\angle \theta _=|Z_Z_/Z_|\angle (\theta _+\theta _-\theta _)$ 。

這方法歷史悠久，很容易制作成品儀器，費(fèi)用低廉，準(zhǔn)確率高；但是，不能夠自動(dòng)化，必需手工調(diào)整已知阻抗來(lái)達(dá)成平衡，而且電橋的測(cè)量頻域比較狹窄。

諧振法

諧振法電路圖

諧振法依賴RLC串聯(lián)電路在共振狀況的物理行為來(lái)測(cè)量元件的阻抗。這方法使用到品質(zhì)因子（Q factor） {\displaystyle Q} $Q$ 的概念。一個(gè)RLC串聯(lián)電路的品質(zhì)因子是其共振頻率與帶寬的比率。這比率又可以證明為等于其電容器或電感器的電抗與電阻的比率。所以，使用測(cè)Q計(jì)（Q meter）測(cè)量一電路元件所得到的 {\displaystyle Q} $Q$ 值，等于這電路元件的電抗除以電路的電阻^[8]。

施加正弦電壓源于電路。設(shè)定測(cè)試的頻率為 {\displaystyle \omega } $\omega$ 。阻抗測(cè)試分為兩個(gè)步驟：

調(diào)整可調(diào)電容器的電容 {\displaystyle C} $C$ ，使得RLC電路進(jìn)入共振狀況。用測(cè)Q計(jì)測(cè)量電容器的品質(zhì)因子 {\displaystyle Q} $Q$ 。
如右圖所示，將阻抗為 {\displaystyle Z_} $Z_$ 的被測(cè)元件串聯(lián)于RLC電路，調(diào)整可調(diào)電容器的電容 {\displaystyle C'} $C'$ ，使得電路進(jìn)入共振狀況。用測(cè)Q計(jì)測(cè)量電容器的品質(zhì)因子 {\displaystyle Q'} $Q'$ 。

對(duì)于*個(gè)共振狀況，可調(diào)電容器的電抗 {\displaystyle X_} $X_}$ 與電感器的電抗 {\displaystyle X_} $X_$ 之間的關(guān)系為

{\displaystyle X_+X_=0} $X_}+X_=0$ 。

所以，

{\displaystyle {\frac {\omega C}}=\omega L} ${\frac {\omega C}}=\omega L$ 。

從前面關(guān)于品質(zhì)因子的論述，可以寫出

{\displaystyle Q={\frac |}}={\frac {\omega CR}}={\frac {\omega L}}} $Q={\frac }|}}={\frac {\omega CR}}={\frac {\omega L}}$ 。

對(duì)于第二個(gè)共振狀況，被測(cè)元件的電抗 {\displaystyle X_} $X_$ 為

{\displaystyle X_+X_+X_=0} $X_}+X_+X_=0$ 。

所以，被測(cè)元件的電抗為

{\displaystyle X_={\frac {\omega C'}}-\omega L={\frac {\omega C'}}-{\frac {\omega C}}={\frac {\omega CC'}}} $X_={\frac {\omega C'}}-\omega L={\frac {\omega C'}}-{\frac {\omega C}}={\frac {\omega CC'}}$ ，

品質(zhì)因子為

{\displaystyle Q'={\frac |}+R}}={\frac {\omega C'(R_+R)}}} $Q'={\frac }|}+R}}={\frac {\omega C'(R_+R)}}$ 。

所以，被測(cè)元件的電阻為

{\displaystyle R_={\frac {\omega C'Q'}}-{\frac {\omega CQ}}} $R_={\frac {\omega C'Q'}}-{\frac {\omega CQ}}$ 。

被測(cè)元件的阻抗為

{\displaystyle Z_=R_+jX_=\left({\frac {\omega C'Q'}}-{\frac {\omega CQ}}\right)+j\left({\frac {\omega C'}}-{\frac {\omega C}}\right)} $Z_=R_+jX_=\left({\frac {\omega C'Q'}}-{\frac {\omega CQ}}\right)+j\left({\frac {\omega C'}}-{\frac {\omega C}}\right)$ 。

這方法可以用于測(cè)量高品質(zhì)因子的元件。但是，必需手工調(diào)整來(lái)達(dá)成共振。

參閱

阻抗匹配
阻抗心動(dòng)描記術(shù)（impedance cardiography）
阻抗電橋（impedance bridging）
特性阻抗（characteristic impedance）
負(fù)阻抗變換器（impedance bridging）

導(dǎo)抗
	實(shí)數(shù)	虛數(shù)	復(fù)數(shù)	單位
抗性	電阻（R）	電抗（X）	阻抗（Z）	歐姆（Ω）
導(dǎo)性	電導(dǎo)（G）	電納（B）	導(dǎo)納（Y）	西門子（S）

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